Question

【题目】设函数f（x）=2lnx+ ． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的x≥1，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）= ， 当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，
当x＞ 时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）单调递增．
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤axa≥ + ，
令h（x）= + ，（x≥1），
则h′（x）= = ，
令m（x）=x﹣xlnx﹣1，（x≥1），
则m′（x）=﹣lnx，
当x≥1时，m′（x）≤0，
于是m（x）在[1，+∞）上为减函数，
从而m（x）≤m（1）=0，因此h′（x）≤0，
于是h（x）在[1，+∞）上为减函数，
所以当x=1时h（x）有最大值h（1）=1，
故a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）先求导，利用导数和函数单调性的关系即可求出；（Ⅱ）分离参数，a≥ + ，构造函数h（x）= + ，求导，再构造函数m（x）=x﹣xlnx﹣1，利用导数求出函数的最大值，问题得以解决．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数单调性的性质(函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集)的相关知识才是答题的关键．