Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），图象关于原点对称，且当x=

1

2

时，f（x）的极小值为-1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根据“函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称“得出奇偶性，再判断b，d的值，再根据在x=

1

2

处的极值求出a，c．

解答：解：（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；
所以f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
由题意得，f′(

1

2

)=0，∴

3

4

a+c=0，
且f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1
解得 a=4，c=-3
所以f（x）=4x³-3x．

点评：该题考查导数的几何意义、函数奇偶性对应的奇数次项系数的值以及偶数次项系数的值．为中等题，