Question

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-，]上是增函数；④f（x）的图象关于直线x=对称．

1. A.
   ①②④
2. B.
   ①③
3. C.
   ②③
4. D.
   ③④

Answer 1

D
分析：先根据二倍角公式将函数f（x）进行化简，根据正弦函数的性质和知判断①；根据最小正周期的求法可判断②；根据正弦函数的单调性可判断③；再由正弦函数的对称性可判断④．
解答：∵f（x）=cosxsinx=sin2x
若f（x₁）=-f（x₂），则sin2x₁=-sin2x₂=sin（-2x₂）∴2x₁=-2x₂+2kπ时满足条件，即x₁+x₂=kπ可以，故①不正确；
T=，故②不正确；
令，得-，当k=0时，x∈[-，]f（x）是增函数，故③正确；
将x=代入函数f（x）得，f（）=-为最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，④正确．
故选D．
点评：本题主要考查正弦函数的二倍角公式和正弦函数的性质．基础知识的熟练掌握是解题的关键，一定要将基础打牢．