Question

已知：二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f'（0）=2n（n∈N^*）．
（1）求：f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足

1

an+1

=f'（

1

an

），且a₁=4，求：数列{a_n}的通项公式；
（3）对于（2）中的数列{a_n}，求证：①

n

k=1

ak＜5；②

4

3

≤

n

k=1

akak+1

＜2．

Answer 1

分析：（1）先求出其导函数，结合已知条件列出关于a，b的方程，求出a，b，即可得到f（x）的解析式；
（2）先根据

1

an+1

=f'（

1

an

）得到

1

an+1

-

1

an

=2n，再由叠加法即可求：数列{a_n}的通项公式；
（3）①根据ak=

1

k(k-1)+ 1 4

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，再代入

n

k=1

ak即可得到证明；
②先根据

akak+1

=

1

(k- 1 2 )(k+ 1 2 )

=

1

k- 1 2

-

1

k+ 1 2

可得左边成立；再对

n

k=1

akak+1

的和进行放缩即可得到右边．

解答：解：（1）由f′（x）=2ax+b，∴

b=2n 16n2a-4nb=0

　　解得

a= 1 2 b=2n

，即f（x）=

1

2

x²+2nx；
（2）∵

1

an+1

=

1

an

+2n，
∴

1

an+1

-

1

an

=2n，由叠加得

1

an

-

1

4

=n²-n，
∴a_n=

4

(2n-1)2

；
（3）①
ak=

1

k(k-1)+ 1 4

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

  （k≥2）
当n≥2时，

n

k=1

ak ≤4+[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]=5-

1

n

＜5．
②∵

akak+1

=

1

(k- 1 2 )(k+ 1 2 )

=

1

k- 1 2

-

1

k+ 1 2

＞0，
∴

n

k=1

akak+1

≥

a1a2

=

1

1- 1 2

-

1

1+ 1 2

=

4

3

，

n

k=1

akak+1

=(

1

1 2

-

1

3 2

)+(

1

3 2

-

1

5 2

)+…+(

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

)=2-

1

n+ 1 2

＜2，
即

4

3

≤

n

k=1

akak+1

＜2．

点评：本题主要考查数列和函数的综合以及不等式的证明．在证明不等式涉及到范围问题时，一般采用放缩法．