Question

16．已知函数f（x）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^x}-{a^{-x}}}）$，其中$\frac{π}{3}＜θ+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$
（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；
（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值集合；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数的解析式，可得f（x）是R上的奇函数，且在R上单调递增．
（2）由题意可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），故有-1＜1-m＜m²-1＜1，由此解得m的范围．
（3）要使f（x）-4的值恒为负，只要f（2）-4≤0，即 $\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^2}-{a^{-2}}}）-4=\frac{{{a^2}+1}}{a}-4≤0$，由此求得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^x}-{a^{-x}}}）$，
∴f（x）是R上的奇函数，且在R上单调递增．
（2）由f（x）的奇偶性可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
由f（x）的定义域及单调性可得-1＜1-m＜m²-1＜1．
解不等式组可得 $1＜m＜\sqrt{2}$．
（3）由于f（x）在（-∞，2）上单调递增，要f（x）-4恒负，
只需f（2）-4≤0，
即$\frac{a}{{{a^2}-1}}（{{a^2}-{a^{-2}}}）-4=\frac{{{a^2}+1}}{a}-4≤0$
解之得：$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$．
结合a＞0且a≠1可得：$2-\sqrt{3}≤a≤2+\sqrt{3}$且a≠1．

点评 本题主要考查函数的单调性和奇偶性，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．