Question

抛物线y²=2px（p＞0）上任一点Q到其内一点P（3，1）及焦点F的距离之和的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设动直线y=kx+b与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且|y₁-y₂|的值为定值a（a＞0），过弦AB的中点M作平行于抛物线的轴的直线交抛物线于点D，求△ABD的面积．

Answer 1

分析：（1）如图所示：过点P作PM⊥l交准线l、抛物线分别于点M、Q，根据抛物线的定义得|QF|=|QM|，可知：当三点P、Q、M共线时，|QF|+|QP|Q取得最小值．
（2）将直线与抛物线的方程联立，消去一个未知数x得到关于另一个未知数y的一元二次方程，据根与系数的关系可得线段AB的中点M的坐标，进而求得D的坐标，于是求出|DM|．再根据|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

可计算出，另一方面|y₁-y₂|=a，得出一个关系式，进而计算出面积．

解答：解：（1）如图所示，由抛物线定义，|QF|+|QP|≥3+

p

2

=4，∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x．
（2）如下图：由

y2=4x y=kx+b

得y2-

4

k

y+

4b

k

=0，
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

．
∴M(

2-kb

k2

，

2

k

)，D(

1

k2

，

2

k

)．
∴|DM|=

1-kb

k2

．
∴S△ABD=

1

2

|DM||y1-y2|=

1

2

•

1-kb

k2

•a．
∵|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 4 k )2- 16b k

=

16(1-kb) k2

=a，
∴S△ABD=

1

2

•

a2

16

•a=

a3

32

．

点评：正确理解抛物线的定义，掌握直线与圆锥曲线相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系的一般方法是解题的关键．