Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，设b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n．
（1）求证：{b_n}是等差数列；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（3）若C_n≤

1

4

m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的通项公式可求得a_n，代入bn+2=3log

1

4

an求得b_n+1-b_n为常数，进而判断出数列{b_n}是等差数列．
（2）由（1）可分别求得a_n和b_n，进而求得C_n进而用错位相减法进行求和．
（3）把（2）中的C_n，代入C_n+1-C_n结果小于0，进而判断出当n≥2时，C_n+1＜C_n，进而可推断出当n=1时，C_n取最大值，问题转化为

1

4

m2+m-1≥

1

4

，求得m的取值范围．

解答：解：（1）由题意知，a_n=（

1

4

）ⁿ．
∵bn+2=3log

1

4

an，b1+2=3log

1

4

a1
∴b₁=1
∴b_n+1-b_n=3log

1

4

a_n+1=3log

1

4

a_n=3log

1

4

an+1

a n

=3log

1

4

q=3
∴数列{b_n}是首项为1，公差为3的等差数列．
（2）由（1）知，a_n=（

1

4

）ⁿ．b_n=3n-2
∴C_n=（3n-2）×（

1

4

）ⁿ．
∴S_n=1×

1

4

+4×（

1

4

）²+…+（3n-2）×（

1

4

）ⁿ，
于是

1

4

S_n=1×（

1

4

）²+4×（

1

4

）³+…（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
两式相减得

3

4

S_n=

1

4

+3×[（

1

4

）²+（

1

4

）³+…+（

1

4

）ⁿ）-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
=

1

2

-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=

2

3

-

12n+8

3

×（

1

4

）ⁿ⁺¹
（3）∵C_n+1-C_n=（3n+1）×（

1

4

）ⁿ⁺¹-（3n-2）×（

1

4

）ⁿ=9（1-n）×（

1

4

）ⁿ⁺¹，
∴当n=1时，C₂=C₁=

1

4

当n≥2时，C_n+1＜C_n，即C₂=C₁＞C₃＞C₄＜…＞C_n
∴当n=1时，C_n取最大值是

1

4

又Cn≤

1

4

m2+m-1
∴

1

4

m2+m-1≥

1

4

即m2+4m-5≥0解得m≥1或m≤-5．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，裂项法求和，解不等式等问题．