Question

【题目】已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：（i）；

（ii）对任意，对恒成立．

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为，，的单调递减区间为. （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析

【解析】

（1）将代入函数解析式，并求得导函数，由导函数的符号即可判断的单调区间；

（2）（i）构造函数并求得，利用的单调性求得最大值，即可证明不等式成立.；（ii）由（i）可知将不等式变形可得成立，构造函数，因式分解后解一元二次不等式即可证明对恒成立．

（1）若，（），

令，得或， 则的单调递增区间为，.

令，得，则的单调递减区间为.

（2）证明：（i）设，

则（），

令，得；

令，得.

故，

从而，即.

（ii）函数

由（i）可知

即，所以，当时取等号；

所以当时，则

若，令

则，

当时，.

则当时，，

故对任意，对恒成立.