Question

（2013•徐州三模）已知数列{a_n}满足：a₁=a+2（a≥0），an+1=

an+a 2

，n∈N^*．
（1）若a=0，求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|a_n+1-a_n|，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜a₁．

Answer 1

分析：（1）由a=0可得a₁=2，an+1=

an 2

，两边同时平方后再同时取对数后可得lgan+1+lg2=

1

2

(lgan+lg2)，从而可得数列{lga_n+lg2}为公比的等比数列．结合等比数列的通项公式可求lga_n，进而可求a_n
（2）由已知an+1=

an+a 2

，可得2

a

2 n+1

=an+a，n≥2时，2

a

2 n

=an-1+a，两式相减可得a_n+1-a_n＜0，从而有b_n=|a_n+1-a_n|=-（a_n+1-a_n），然后再利用叠加法可求和，即可证明

解答：解：（1）若a=0时，a₁=2，an+1=

an 2

，
所以an+12=

1

2

an且a_n＞0．
两边取对数，得lg2+2lga_n+1=lga_n，…（2分）
化为lgan+1+lg2=

1

2

(lgan+lg2)，
因为lga₁+lg2=2lg2，
所以数列{lga_n+lg2}是以2lg2为首项，

1

2

为公比的等比数列．…（4分）
所以lgan+lg2=2(

1

2

)n-1lg2，所以an=222-n-1．…（6分）
（2）由an+1=

an+a 2

，得2

a

2 n+1

=an+a，①
当n≥2时，2

a

2 n

=an-1+a，②
①-②，得2（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，…（8分）
由已知a_n＞0，所以a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号．…（10分）
因为a2=

a+1

，且a＞0，所以

a

2 1

-

a

2 2

=(a+2)2-(a+1)=a2+3a+3＞0恒成立，
所以a₂-a₁＜0，所以a_n+1-a_n＜0．…（12分）
因为b_n=|a_n+1-a_n|，所以b_n=-（a_n+1-a_n），
所以S_n=-[（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n+1-a_n）]=-（a_n+1-a₁）=a₁-a_n+1＜a₁．…（16分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列 的通项公式及叠加法求解数列的和 方法的应用，试题具有一定的综合性