Question

设不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V．
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

解：（1）依题可知平面区域U的整点为（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13个，
平面区域V的整点为（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5个，
∴
（2）依题可得：平面区域U的面积为：π•2²=4π，平面区域V的面积为：，
在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为，
易知：X的可能取值为0，1，2，3，
且，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P

∴X的数学期望：
（或者：，故．
分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，用列举法求出平面区域U的整点的个数N，平面区域V的整点个数为n，这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（2）依题可得：平面区域U的面积为：π•2²=4π，平面区域V的面积为：，在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为，易知：X的可能取值为0，1，2，3，则X∽B（3，），代入概率公式即可求得求X的分布列和数学期望．
点评：此题是个中档题．考查古典概型和几何概型以及二项分布的期望求法，同时考查学生的阅读能力和分析解决问题的能力．