Question

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1-1=ca_n-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a=0，b_n=n（1-a_n）（n∈N*），求数列{b_n}的前n项和S_n。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∴当a₁=a≠1时，{a_n-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，
∴，即，
当a=1时，a_n=1仍满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为。
（Ⅱ）由（Ⅰ），得当a=0时，，
当c=1时，b_n=n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2+3+…+n；
当c≠1时，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+2×c+3×c²+...+n×，①
由c×①，得cS_n=c+2c²+3c³+…+ncⁿ， ②
由①②两式作差，得（1-c）S_n=1+c+c²+…+，
∴。