Question

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有
f（x+y）=f（x）f（y）
（Ⅰ）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f(-2-an)

(n∈N*)
①求{a_n}通项公式．
②当a＞1时，不等式

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

＞

12

35

(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y），x＜0时，f（x）＞1
令x=-1，y=0则f（-1）=f（-1）f（0）∵f（-1）＞1
∴f（0）=1
若x＞0，则f（x-x）=f（0）=f（x）f（-x）
故f(x)=

1

f(-x)

∈(0，1)
故x∈Rf（x）＞0
任取x₁＜x₂f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）
∵x₂-x₁＞0∴0＜f（x₂-x₁）＜1
∴f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）在R上减函数

（Ⅱ）①a1=f(0)=1，f(an+1)=

1

f(-2-an)

=f(2+an)
由f（x）单调性知，a_n+1=a_n+2故{a_n}等差数列
∴a_n=2n-1
②bn=

1

an+1

+

1

an+2

++

1

a2n

，则bn+1=

1

an+2

+

1

an+3

++

1

a2n+2

bn+1-bn=

1

a2n+1

+

1

a2n+2

-

1

an+1

=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

=

1

(4n+1)(4n+3)(2n+1)

＞0，{bn}是递增数列
当n≥2时，(bn)min=b2=

1

a3

+

1

a4

=

1

5

+

1

7

=

12

35

∴

12

35

＞

12

35

(loga+1x-logax+1)
即log_a+1x-log_ax+1＜1?log_a+1x＜log_ax
而a＞1，
∴x＞1
故x的取值范围：（1，+∞）