Question

已知点，一动圆过点且与圆内切．

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；

（Ⅲ）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆心坐标为，则动圆的半径为，

    又动圆与内切，所以有

       化简得

    所以动圆圆心轨迹C的方程为．………………………………4分

（Ⅱ）设，则

  ，令，，所以，

    当，即时在上是减函数，；

    当，即时，在上是增函数，

    在上是减函数，则；

    当，即时，在上是增函数，．

    所以， ．…………………………………………9分

（Ⅲ）当时,,于是,,

    若正数满足条件，则，即，

       ，令，

    设，则，，

    于是，

    所以，当，即时，，

    即，．所以，存在最小值．………………………………14分