题目内容
已知函数f(x)=logacos(2x-
)（其中a＞0，且a≠1）．
（1）求它的定义域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期．
| π | 3 |
（1）求它的定义域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的周期性，如果是周期函数，求它的最小正周期．
分析：（1）由对数函数的定义域可得cos（2x-
）＞0，根据2kπ-
＜2x-
＜2kπ+
k∈Z，求出x的范围，即可得到所求．
（2）当a＞1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-
）＞0时的增区间，由2kπ-
＜2x-
＜2kπ+0，k∈z 求出函数
的增区间．由2kπ＜2x-
＜2kπ+
，k∈z，求出函数减区间．当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间就是a＞1时的减区间，
f（x）的单调减区间就是a＞1时的增区间．
（3）f（x）是周期函数，由周期计算公式求得结果．
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（2）当a＞1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
的增区间．由2kπ＜2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
f（x）的单调减区间就是a＞1时的增区间．
（3）f（x）是周期函数，由周期计算公式求得结果．
解答：解：（1）要使f（x）有意义，需满足cos（2x-
）＞0，…（2分）
∴2kπ-
＜2x-
＜2kπ+
，∴kπ-
＜x＜kπ+
．k∈z …（5分）
∴f（x）的定义域为{x|kπ-
＜x＜kπ+
，k∈Z}．…（6分）
（2）当a＞1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-
）＞0时的增区间．
由 2kπ-
＜2x-
＜2kπ+0，k∈z，可得 kπ-
＜x＜kπ+
，k∈z，
故单调增区间是 （kπ-
，kπ+
），k∈z．
由 2kπ＜2x-
＜2kπ+
，k∈z，可得 kπ+
＜x＜kπ+
，k∈z，
故单调减区间是（kπ+
，kπ+
） （k∈Z）． …（9分）
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-
）＞0时的减区间，
f（x）的单调减区间就是cos（2x-
）＞0时的增区间．
故f（x）的单调增区间是 （kπ+
，kπ+
） （k∈Z）．
故f（x）单调减区间是 （kπ-
，kπ+
），k∈z．…（12分）
（3）f（x）是周期函数，最小正周期是
=π．…（14分）
| π |
| 3 |
∴2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
∴f（x）的定义域为{x|kπ-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
（2）当a＞1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-
| π |
| 3 |
由 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
故单调增区间是 （kπ-
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
由 2kπ＜2x-
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
故单调减区间是（kπ+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间就是cos（2x-
| π |
| 3 |
f（x）的单调减区间就是cos（2x-
| π |
| 3 |
故f（x）的单调增区间是 （kπ+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 12 |
故f（x）单调减区间是 （kπ-
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
（3）f（x）是周期函数，最小正周期是
| 2π |
| 2 |
点评：本题主要考查余弦函数的定义域，对数函数的定义域，三角函数的周期性及其求法，注意复合函数的单调性规律：
同增异减，属于中档题．
同增异减，属于中档题．
练习册系列答案
名师指导期末冲刺卷系列答案
相关题目