Question

【题目】已知抛物线： ，焦点， 为坐标原点，直线（不垂直轴）过点且与抛物线交于两点，直线与的斜率之积为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若为线段的中点，射线交抛物线于点，求证： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）设经过焦点的直线方程为，联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理，根据斜率之积等于求出的值，由此求得抛物线方程；（2）利用（1）求得点的坐标，利用直线的方程求出点的坐标，两者横坐标的比值大于，得证.

试题解析：

∵直线过点且与抛物线交于两点， ，

设，直线（不垂直轴）的方程可设为．

∴，

∵直线与的斜率之积为，

∴，∴，得，

由，化为，

其中，

∴，

∴，抛物线．

（2）证明：设，∵为线段的中点，

∴，

∴直线的斜率为，

直线的方程为代入抛物线的方程，

得，∴，

∵，∴．