Question

用两种方法证明：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)．

Answer 1

分析：此题解法有两种：解法一是运用放缩法来证明；将左端最后一项放大，并变成两项之差，再用叠加法，即可．
解法二是运用数学归纳法来证明．在证明过程中，第一步实际是验证思想，将n=2代入检验，第二步是关键一步，
尤其是从k到k+1时，要注意增添了哪几项．

解答：解：证明：解法一（放缩法）：∵

1

n2

＜

1

(n-1)×n

∴1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

又∵

1

(n-1)×n

=

1

n-1

-

1

n

∴1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

即1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)，即证．
解法二（数学归纳法）：
①当n=2时，左端=1+

1

22

=

5

4

，右端=2-

1

2

=

3

2

=

6

4

，∴左端＜右端，即证．
②假设n=k时，有1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)恒成立，即1+

1

22

+

1

32

+…+

1

k2

＜2-

1

k

恒成立，
那么当n=k+1时，1+

1

22

+…+

1

k2

+

1

(k+1)2

＜2-

1

k

+

1

(k+1)2

=2-

k2+k+1

(k+1)2•k

＜2-

k2+k

(k+1)2•k

=2-

1

k+1

也成立，
即当n=k时上述原命题也成立，
综上，由①②知，1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)恒成立，即证．

点评：此题考查不等式证明．不等式证明在该题中有运用了两种常用的证明方法，即放缩法和数学归纳法，尤其是数学归纳法适用范围，在运用过程中注意至少有n∈N^*这个条件才行．