Question

【题目】已知数列{an}满足a1= ，an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），令bn=an﹣1．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）令cn= ，求证：c1+c2+…+cn＜n+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），bn=an﹣1，即an=bn+1．

∴（bn+1+1）（bn+1）=2（bn+1+1）﹣1，化为： ﹣ =﹣1，

∴数列 是等差数列，首项为﹣2，公差为﹣1．

∴ =﹣2﹣（n﹣1）=﹣1﹣n，∴bn=﹣ ．

（2）证明：由（1）可得：an=bn+1=1﹣ = ．

∴cn= = = =1+ ，

∵n≥2时，2n+2≤2n+1﹣1，∴ ＜ ，

∴c1+c2+…+cn≤n+ + =n+ ﹣ ＜n+ ．

【解析】（1）an+1an=2an+1﹣1（n∈N*），bn=an﹣1，即an=bn+1．代入化为： ﹣ =﹣1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：an=bn+1=1﹣ = ．代入cn= =1+ ，由于n≥2时，2n+2≤2n+1﹣1，可得 ＜ ，利用“裂项求和”、数列的单调性即可得出．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．