Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若?x∈（0，+∞），不等式f（x²+4）+f（ax）≥0恒成立，求a的取值范围．
（3）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数．
（2）根据函数f（x）为奇函数且在R上是增函数，所给的不等式可化为f（x²+4）≥f（-ax）恒成立，即当x＞0时，x²+4≥-ax恒成立，再利用基本不等式求得a的范围．
（3）令g（x）=f（x）-lnx，根据g（1）＞0、g（3）＜0，利用函数零点的判定定理证得结论．

解答：证明：（1）由于函数f（x）的定义域为R，且f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
所以f(-x)+f(x)=(1-

2

2-x+1

)+(1-

2

2x+1

)=2-(

2

2x+1

+

2

2-x+1

)=2-(

2

2x+1

+

2•2x

2x+1

)=2-

2(2x+1)

2x+1

=2-2=0．
即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．
（2）由于f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在R上是增函数，
?x∈（0，+∞），不等式f（x²+4）+f（ax）≥0恒成立，
故有 f（x²+4）≥f（-ax）恒成立，即x²+4≥-ax恒成立，
即-a≤

x2+4

x

=x+

4

x

．
而  x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，故有-a≤4，a≥-4，当且仅当x=2时，等号成立．
即a的取值范围为[-4，+∞）．
（3）令g(x)=f(x)-lnx=

2x-1

2x+1

-lnx，
因为g(1)=

21-1

21+1

-ln1=

1

3

＞0，g(3)=

23-1

23+1

-ln3=

7

9

-ln3＜0，
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，基本不等式、函数零点的判定定理，属于中档题．