Question

用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．
（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？
（2）比4301大的四位数有多少个？
（3）能被3整除的四位数有多少个？
注：以上结果均用数字作答．

Answer 1

分析：（1）先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C₅¹种结果，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A₅³种结果，根据乘法原理得到结果．用0，1，2，3，4，5六个数字组成没有重复数字的四位偶数，则0不能排在首位，末位必须为0，2，4其中之一．属于有限制的排列问题，且限制有两个，即首位和末位，所以，先分两类．第一类，末位排0．第二类，末位不排0，分别求出排法，再相加即可．
（2）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位是5．后两位没有限制，当前两位是43时，分别写出结果数（注意减去4301），相加得到结果．
（3）被3整除的数字要求数字之和能被3整除，0，3一组，1，5一组，2，4一组，1，2一组，45一组．包括两种情况，一是包含0，3的，需要先从余下的非0数字中选一个做首位，剩下的三个数字任意放，二是不含0，3的，随便排，根据加法原理得到结果．

解答：解：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，
∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C₅¹种结果，
余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A₅³种结果，
根据分步计数原理知共有A¹₅•A³₅=300；
用0，1，2，3，4，5六个数字组成没有重复数字的四位偶数，则0不能排在首位，末位必须为0，2，4其中之一．
所以可分两类，末位为0，则其它位没限制，从剩下的5个数中任取3个，再进行排列即可，共有A₅³=60个
第二类，末位不排0，又需分步，第一步，从2或4中选一个来排末位，有C₂¹=2种选法，第二步排首位，首位不能排0，从剩下的4个数中选1个，有4种选法，第三步，排2，3位，没有限制，从剩下的4个数中任取2个，再进行排列即可，共有12种．
把三步相乘，共有2×4×12=96个
最后，两类相加，共有60+96=156个
（2）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A₅³=60，
当前两位是45时，共有

A

2 4

=4×3=12个，
当前两位是43时，共有

A

2 4

=4×3=12个，去掉4301即可，即有12-1=11个．
根据分类加法原理得到共有：60+12+12-1=83个．
（3）0，3一组，1，5一组，2，4一组，1，2一组，45一组；
被3整除的数字包括两种情况，
一是包含0，3的，需要先从余下的非0数字中选一个做首位．
剩下的三个数字选一个放在第二位，共有4A₃¹A₃³=72种结果，
二是不含0，3的，共有A₄⁴=24种结果，
根据分类计数原理知共有72+24=96．

点评：本题是考查排列组合问题，是一个综合题，包括数字问题中可能遇到的所有情况，同学们注意分析问题，加以比较，争取做到举一反三．