Question

（选做B）已知函数f（x）=

1

2

x²+alnx．
（1）若a=-1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³的图象的下方．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用导数的正负，可确定函数f（x）的单调区间，进而得到函数的极值；
（2）构造函数设F（x）=

1

2

x²+ln x-

2

3

x³，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0可证．

解答：解：（1）由于函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=-1时，f′（x）=x-

1

x

=

(x-1)(x+1)

x

令f′（x）=0得x=1或x=-1（舍去），[（3分）]
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，因此函数f（x）在（0，1）上是单调递减的，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在（1，+∞）上是单调递增的，
则x=1是f（x）极小值点，
所以f（x）在x=1处取得极小值为f（1）=

1

2

；
（2）证明：设F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²+ln x-

2

3

x³，
则F′（x）=x+

1

x

-2x²=

-2x3+x2+1

x

=

-(x-1)(2x2+x+1)

x

，
当x＞1时，F′（x）＜0，
故f（x）在区间[1，+∞）上是单调递减的，
又F（1）=-61＜0，
∴在区间[1，+∞）上，F（x）＜0恒成立．即f（x）-g（x）＜0 恒成立
即f（x）＜g（x）恒成立，
因此，当a=1时，在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）图象的下方．

点评：本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性问题．