Question

已知函数f（x）=loga(

x-5

x+5

)和函数g（x）=1+log_a（x-3）其中a＞0且a≠1，
（1）分别求函数f（x）和g（x）的定义域；
（2）若关于x的方程f（x）=g（x）有实根，求a的取值范围？

Answer 1

分析：（1）直接由对数式的真数大于0求解两个函数的定义域；
（2）把函数解析式代入方程f（x）=g（x），去掉对数符号后转化为关于x的一元二次方程，然后利用对称轴的位置分类分析求解a的范围．

解答：解：（1）由题意得

x-5

x+5

＞0，即（x-5）（x+5）＞0，解得x＜-5或x＞5；
同理，由x-3＞0，解得x＞3．
故f（x）的定义域为{x|x＜-5或x＞5}，g（x）的定义域为{x|x＞3}；
（2）由关于x的方程f（x）=g（x）有实根，
即loga

x-5

x+5

=1+loga(x-3)有实根，也就是loga

x-5

x+5

=loga(x-3)有实根，
则

x-5

x+5

=a(x-3)在（5，+∞）内有实根．
整理得ax²+（2a-1）x-15a+5=0．
由题意得a＞0且a≠1．
则

1-2a 2a ＞5 (2a-1)2-4a(5-15a)≥0

①或

1-2a 2a ≤5 (2a-1)2-4a(5-15a)＞0 25a+5(2a-1)-15a+5＜0

②
解①得，a∈∅；
解②得，a∈∅．
故不存在实数a使得关于x的方程f（x）=g（x）有实根．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中高档题．