Question

（本小题满分12分）

    已知直线过椭圆的右焦点，抛物线：的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于、两点，点、、 在直线上的射影依次为点、、．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l交y轴于点，且，当变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；

（3）连接、，试探索当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

(1)

(2)

(3)

【解析】解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点∴，

    抛物线的焦点坐标

    椭圆的方程

    （Ⅱ）易知，且与轴交于，

    设直线交椭圆于

    由

    ∴

    ∴

    又由

       同理

    ∴

    ∵               

    ∴

    所以，当变化时， 的值为定值；

    （Ⅲ）先探索，当时，直线轴，

    则为矩形，由对称性知，与相交的中点，且，

    猜想：当变化时，与相交于定点

    证明：由（Ⅱ）知，∴

    当变化时，首先证直线过定点，

    方法1）∵

    当时，

   

    ∴点在直线上，

    同理可证，点也在直线上；

    ∴当变化时，与相交于定点

    方法2）∵，

   

   

    ∴，∴、、三点共线，同理可得、、也三点共线；

    ∴当变化时，与相交于定点