Question

已知圆C：（x+1）²+（y-2）²=4
（1）若直线l：y=k（x-2）与圆C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
（2）（文科）若过（2，0）的直线m被圆C截得的弦长为

14

，求直线m的方程；
（2）（理科）若斜率为1的直线m被圆C截得的弦AB满足OA⊥OB（O是坐标原点），求直线m的方程．

Answer 1

分析：（1）将直线圆的位置关系转化为圆心到直线的距离与半径的大小关系即可解出；
（2）（文科）由条件设出直线的方程，由弦长l=2

r2-d2

，再利用点到直线的距离公式求出d即可；
（2）（理科）设出直线m的方程及两交点的坐标，直线l的方程与圆的方程联立，可得△＞0，再利用根与系数的关系得出x₁与x₂式子；另一方面由已知OA⊥OB，利用数量积等于0，得出x₁与x₂式子，进而即可得出答案．

解答：解：（1）∵直线l与圆C有公共点，∴圆心C（-1，2）到直线l的距离d≤r=2．
∴d=

|-k-2-2k|

k2+1

≤2?|3k+2|≤2

k2+1

，
两边平方并整理得5k²+12k≤0，∴-

12

5

≤k≤0．
即k得取值范围是k∈[-

12

5

，0]．
（2）（文科）设直线m的斜率为k，则直线m的方程为y=k（x-2），
由弦长l=2

r2-d2

，得

14

=2

4-( |3k+2| k2+1 )2

，
两边平方并整理得17k²+24k+7=0，
解得k=-1，或k=-

7

17

，且都在[-

12

5

，0]范围内，即都适合题意．
所求的直线m的方程为：y=-（x-2）或y=-

7

17

(x-2)．
即x+y-2=0，或7x+17y-14=0．
（2）（理科）由题意设所求的直线m的方程为：y=x+t，设圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=x1x2+(x1+x2)t+t2，代入上式得2x1x2+(x1+x2)t+t2=0．（?）
联立

y=x+t (x+1)2+(y-2)2=4

消去y并整理得2x²+（2t-2）x+t²-4t+1=0．
∵直线与圆有两个交点，∴△＞0，即（2t-2）²-8（t²-4t+1）＞0．
化为t²-6t+1＜0．解得3-2

2

＜t＜3+2

2

．（⊕）
根据根与系数的关系得x₁+x₂=1-t，x1x2=

t2-4t+1

2

．
将上两式代入（?）式得t²-4t+1+t（1-t）+t²=0，
t²-3t+1=0，解得t=

3± 5

2

，满足（⊕）式．
故所求的直线m的方程为y=x+

3± 5

2

．

点评：本题综合考查了直线与圆相交时的弦长及满足某些条件（垂直）的问题，将直线方程与圆的方程联立化为关于一个未知数的一元二次方程的△＞0、根与系数的关系、弦长公式、数量积为0、点到直线的距离公式等是解题的关键．