Question

已知函数f(x)=ax³-(1+a)x²+2x+1．

(Ⅰ)当a＞2时，求函数f(x)的单调递减区间；

(Ⅱ)当a≤1时，求函数y=f(x)的图像与直线y=2的交点个数．

Answer 1

证明：(Ⅰ)f′(x)= ax²-(a+2)x+2．

∵f′(x)＜0ax²-(a+2)x+2＜0．

由a＞2，有＞1．∴f′(x)＜0＜x＜1．

∴f(x)的递减区间为(，1).

[注：若写成闭区间也正确．]

(Ⅱ)由消去y，有

ax³-(1+a)x²+2x-1=0.(*)

y=f(x)的图像与直线y=2的交点个数问题化归为方程(*)解的个数问题．

令g(x)=ax³-(1+a)x²+2x-1，

则g′(x)= ax²-(a+2)x+2=(ax-2)(x-1)．

1°当a=0时，g(x)=-(x-1)²，此时g(x)与x轴只有一个交点；

2°当a＜0时，g′(x)＞0＜x＜1．

g′(x)＜0x＞1或x＜.

g(x)的极大值g(1)=＞0．

g(x)的极小值g()=-1＜0．

[注：当x→-∞时，g(x)＞0；当x→+∞时，g(x)＜0．不要求学生能写出．]

∴a＜0时，g(x)的图像与x轴有三个交点．

3°当0＜a≤1时，g′(x)＞0x＞或x＜1；

g′(x)＜01＜x＜.

g(x)的极大值g(1)=＜0；

g(x)的极小值g()=-1=＜0．

[注：x→+∞时，g(x)＞0．]

∴g(x)的图像与x轴只有一个交点．

综上所述，当0≤a≤1时，函数y=f(x)的图像与直线y=2只有一个交点；当a＜0时，有三个交点．