Question

过抛物线y²=4x的焦点引一条直线l交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点
（1）求y₁y₂的值
（2）若直线被抛物线截得的弦长被焦点分成2：1两部分，求这条直线方程．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y²=4x，可得p，进而得焦点F（1，0）．由题意可设直线l的方程为x=my+1，与抛物线方程联立即可得到根与系数的关系．
（2）利用

AF

=2

FB

，可得-y₁=2y₂．再利用根与系数的关系y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．联立解得m即可．

解答：解：（1）∵抛物线y²=4x，∴

p

2

=

4

4

=1，得焦点F（1，0）．
由题意可设直线l的方程为x=my+1，联立

x=my+1 y2=4x

，
化为y²-4my-4=0，
∴y₁y₂=-4．
（2）∵

AF

=2

FB

，∴（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂），∴-y₁=2y₂．
又y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
联立解得m=±

2

4

．
∴直线l的方程为：±

2

4

y=x-1．

点评：熟练掌握抛物线的性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量相等等是解题的关键．