题目内容
已知函数f（x）=3ax2+2bx+c，a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0
（I）求证：-2＜
＜-1；
（II）若x1、x2 是方程f（x）=0的两个实根，求|x1-x2|的取值范围．
（I）求证：-2＜
| b | a |
（II）若x1、x2 是方程f（x）=0的两个实根，求|x1-x2|的取值范围．
分析：（Ⅰ） 当a=0时，f（0）=c，f（1）=2b+c，又b+c=0，则f（0）•f（1）=c（2b+c）=-c2＜0，与已知矛盾，因而a≠0，则f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-（b+c）（2a+b）＞0，从而建立关于
的不等关系，从而求出
的范围即得；
（II）根据根与系数的关系即可求得x1+x2，x1•x2则可得d2=|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1•x2，得到关于
的二次函数，又由（I）得-2＜
＜-1，根据其增减性即可求得答案．
| b |
| a |
| b |
| a |
（II）根据根与系数的关系即可求得x1+x2，x1•x2则可得d2=|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1•x2，得到关于
| b |
| a |
| b |
| a |
解答：证明：（Ⅰ） 当a=0时，f（0）=c，f（1）=2b+c，又b+c=0，
则f（0）•f（1）=c（2b+c）=-c2＜0，与已知矛盾，
因而a≠0，则f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-（b+c）（2a+b）＞0
即（
+1）（
+2）＜0，从而-2＜
＜-1；
（II） x1、x2是方程f（x）=0的两个实根，
∴x1+x2=-
，x1•x2=-
，
那么|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1•x2=（-
）2+4×
=
（
）2+
×
+
，
此关于
的二次函数的对称轴为：
=-
，
∴当-2＜
＜-1时，是减函数，
∴|x1-x2|2∈[
，
）
|x1-x2|的取值范围的取值范围[
，
）．
则f（0）•f（1）=c（2b+c）=-c2＜0，与已知矛盾，
因而a≠0，则f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-（b+c）（2a+b）＞0
即（
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
（II） x1、x2是方程f（x）=0的两个实根，
∴x1+x2=-
| 2b |
| 3a |
| a+b |
| 3a |
那么|x1-x2|2=（x1+x2）2-4x1•x2=（-
| 2b |
| 3a |
| a+b |
| 3a |
| 4 |
| 9 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
| b |
| a |
| 4 |
| 3 |
此关于
| b |
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| 2 |
∴当-2＜
| b |
| a |
∴|x1-x2|2∈[
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
|x1-x2|的取值范围的取值范围[
| ||
| 3 |
| 2 |
| 3 |
点评：此题主要考查了二次函数的性质、含有字母系数的一元二次方程的解法，注意根与系数的关系的应用．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=3•2x-1，则当x∈N时，数列{f（n+1）-f（n）}（ ）
| A、是等比数列 | B、是等差数列 | C、从第2项起是等比数列 | D、是常数列 |