Question

一个四棱椎的三视图如图所示：
（I）求证：PA⊥BD；
（II）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°？若存在，求

|DQ|

|DP|

的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；
（2）假设存在点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得

DQ

DP

=

1

4

．

解答：解：（I）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形
∴四棱锥P-ABCD为正四棱锥，底面ABCD为边长为2的正方形，且PA=PB=PC=PD，
连接AC、BD交于点O，连接PO．  …（3分）
∵PO⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴BD⊥PO，
又∵BD⊥AC，PO、AC是平面PAC内的相交直线
∴BD⊥平面PAC，
结合PA⊆平面PAC，得BD⊥PA．…（6分）
（II）假设存在点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°
∵AC⊥BD，AC⊥PO，BD、PO是平面PBD内的相交直线
∴AC⊥平面PBD
∴AC⊥OQ，可得∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，…（8分）
由三视图可知，BC=2，PA=

7+1

=2

2

，
在Rt△POD中，PD=2

2

，OD=

2

，则∠PDO=60°，
在△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．所以DP⊥OQ．…（10分）
结合OD=

2

，得QD=ODcos60°=

2

2

．可得

DQ

DP

=

2 2

2 2

=

1

4

． 
因此存在PD上点Q，当DQ=

1

4

PD时，二面角Q-AC-D的平面角为30°…（12分）

点评：本题给出四棱锥的三视图，要求将其还原成直观图并探索二面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质和对三视图的理解等知识，属于中档题．