Question

已知函数f(x)=

2a+1

a

-

1

a2x

，x∈[m，n]（m＜n）．
（1）用函数单调性的定义证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求常数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由?x₁、x₂∈[m，n]，当x₁＜x₂时，f(x1)-f(x2)=-

1

a2

(

1

x1

-

1

x2

)＜0，证明函数f（x）在[m，n]上单调递增
（2）∵f（x）在[m，n]上单调递增，∴f（x）在[m，n]上的值域为[f（m），f（n）]，∴f（m）=m且f（n）=n∴f（x）=x有两相异的同号根m、n，利用韦达定理列出所需不等式，即可解得a的取值范围．

解答：解：（1）∵[m，n]⊆（-∞，0）∪（0，+∞）∴m＜n＜0或0＜m＜n
对?x₁、x₂∈[m，n]，当x₁＜x₂时，f(x1)-f(x2)=-

1

a2

(

1

x1

-

1

x2

)=-

1

a2

•

x1-x2

x1x2

∵m＜x₁＜x₂＜n，
∴x₁x₂＞0且x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）∵f（x）在[m，n]上单调递增，
∴f（x）在[m，n]上的值域为[f（m），f（n）]
∴f（m）=m且f（n）=n，
∴f（x）=x有两相异的同号根m、n
即

2a+1

a

-

1

a2x

=x，a2x2-a(2a+1)x+1=0   需

△=a2(2a+1)2-4a2＞0 mn= 1 a2 ＞0

，
∴a＞

1

2

或a＜-

3

2

．

点评：本题考查了函数单调性的定义及运用，二次方程根的分布问题及解法，解题时要规范步骤，推理严密