题目内容
已知a∈R，试求关于x的不等式（a+1）x2+2x+1＞0的解集．
分析：通过对a+1和△与0的关系分类讨论，再利用一元二次不等式的解法即可得出．
解答：解：（1）a=-1时，不等式为2x+1＞0，解集为(-
，+∞)；
（2）a＞-1时，△=4-4a-4=-4a．
①若△＜0即a＞0，则不等式的解集为R；
②若△=0即a=0，则不等式为x2+2x+1＞0，解集为{x|x≠-1}；
③若△＞0即-1＜a＜0，相应方程两根为x1=
，x2=
，且x1＜x2，故解集为(-∞，
)∪(
，+∞)；
（3）a＜-1时，△=4-4a-4=-4a＞0，相应方程两根为x1=
，x2=
，且∵x1-x2=
＞0，∴x1＞x2．
故解集为(
，
)．
综上可得：a＞0时，不等式的解集为R；
a=0时，不等式的解集为{x|x≠-1}；
-1＜a＜0时，不等式的解集为(-∞，
)∪(
，+∞)；
a=-1时，不等式的解集为(-
，+∞)；
a＜-1时，不等式的解集为(
，
)．
| 1 |
| 2 |
（2）a＞-1时，△=4-4a-4=-4a．
①若△＜0即a＞0，则不等式的解集为R；
②若△=0即a=0，则不等式为x2+2x+1＞0，解集为{x|x≠-1}；
③若△＞0即-1＜a＜0，相应方程两根为x1=
-1-
| ||
| a+1 |
-1+
| ||
| a+1 |
-1-
| ||
| a+1 |
-1+
| ||
| a+1 |
（3）a＜-1时，△=4-4a-4=-4a＞0，相应方程两根为x1=
-1-
| ||
| a+1 |
-1+
| ||
| a+1 |
-2
| ||
| a+1 |
故解集为(
-1+
| ||
| a+1 |
-1-
| ||
| a+1 |
综上可得：a＞0时，不等式的解集为R；
a=0时，不等式的解集为{x|x≠-1}；
-1＜a＜0时，不等式的解集为(-∞，
-1-
| ||
| a+1 |
-1+
| ||
| a+1 |
a=-1时，不等式的解集为(-
| 1 |
| 2 |
a＜-1时，不等式的解集为(
-1+
| ||
| a+1 |
-1-
| ||
| a+1 |
点评：本题考查了分类讨论、一元二次不等式的解法、一元二次方程的解法等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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