Question

已知函数f(x)=2lnx+k(x-

1

x

)(k∈R)．
（1）当k=-1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求证：当k≤-1时，对所有的x＞0且x≠1都有

1

x2-1

f(x)＜0成立．

Answer 1

分析：（1）将k=-1代入求出函数，利用f′（x）＞0求出增区间，利用f′（x）＜0求出减区间，
（2）求出导函数，利用放缩法判断出导函数的单调性，利用单调性判断出f（x）的正负即可．

解答：解：（1）当k=-1时，f(x)=2lnx-x+

1

x

(x＞0)
∵f′(x)=

2

x

-1-

1

x2

=

-x2+2x-1

x2

=-

(x-1)2

x2

≤0
∴f（x）的减区间为（0，+∞），无增区间，
（2）证明：f′(x)=

2

x

+k+

k

x2

=

k(x2+1)+2x

x2

（x＞0且x≠1），
∵x²+1＞2x，k≤-1，
∴k（x²+1）+2x＜2kx+2x=2x（k+1）≤0，
故f（x）在（0，1）和（1，+∞）上均单调递减，
当x∈（0，1）时，f（x）＞f（1）=0，而

1

x2-1

＜0，则

1

x2-1

f(x)＜0，
当x∈（1，+∞）时，f（x）＜f（1）=0，而

1

x2-1

＞0，则

1

x2-1

f(x)＜0，
综上可知，当k≤-1时，对所有的x＞0且x≠1，都有

1

x2-1

f(x)＜0．

点评：本题考查了利用导函数求函数的单调区间，利用放缩法确定函数的取值范围，综合性较强，有一定难度．