Question

已知f(x)=loga(

1-x

1+x

)，（a＞0，≠0）
（1）求函数f（x）的定义域，
（2）判断f（x）在其定义域上的奇偶性，并予以证明，
（3）若a=2，求f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，从而得到函数的定义域．
（2）根据函数的定义域关于原点对称，f（-x）+f（x）=0，可得f（x）在（-1，1）上为奇函数．
（3）a=2时，f（x）＞0，即

1-x

1+x

＞1，即

x

x+1

＜0，由此求得f（x）＞0的解集．

解答：解：（1）∵f(x)=loga(

1-x

1+x

)，∴

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为 （-1，1）．（4分）
（2）∵函数f（x）为定义域上的奇函数，
∵函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称．
f（-x）+f（x）=loga(

1-x

1+x

)+loga(

1+x

1-x

)=loga (

1-x

1+x

•

1+x

1-x

 )=0，
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（10分）
（3）a=2时，f（x）＞0，即

1-x

1+x

＞1，即

x

x+1

＜0，解得-1＜x＜0，
f（x）＞0的解集为 （-1，0）．（14分）

点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，函数的奇偶性的判断，属于中档题．