Question

设{a_n}是正数组成的数列,其前n项和为S_n,且对于所有的正整数n,有a_n=2-2.

(1)写出数列{a_n}的三项;

(2)求数列{a_n}的通项公式,并写出推证过程;

(3)令b_n=,求数列{b_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解析：(1)由题意，当n=1时，有a₁=2-2,S₁=a₁，

∴a₁=2-2,解得a₁=2.

当n=2时，有a₂=2-2,S₂=a₁+a₂,

将a₁=2代入，整理得（a₂-2）²=16,

由a₂＞0，解得a₂=6.

当n=3时，有a₃=2-2,S₃=a₁+a₂+a₃,

将a₁=2,a₂=6代入，整理得（a₃-2）²=64,

由a₃＞0，解得a₃=10.

所以该数列的前三项分别为2，6，10.

(2)由a_n=2-2(n∈N^*),整理得S_n=(a_n+2)²,

则S_n+1=(a_n+1+2)²,

∴a_n+1=S_n+1-S_n=［(a_n+1+2)²-(a_n+2)²］.

整理，得（a_n+1+a_n）(a_n+1-a_n-4)=0,

由题意知a_n+1+a_n≠0,∴a_n+1-a_n=4.

∴即数列{a_n}为等差数列，其中首项a₁=2，公差d=4,

∴a_n=a₁+(n-1)d=2+4(n-1).

即通项公式为a_n=4n-2(n∈N^*).

(3)b_n=,

T_n=b₁+b₂+…+b_n

=.