Question

已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=

4

a 2 n+1 -1

（n∈N⁺），记数列{b_n}的前n项和为T_n，对于任意的n∈N⁺，不等式Tn＜

m

100

恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0，由a₂+a₇=16及a₃•a₆=55，化为关于a₁，d的方程组，解出a₁，d，代入等差数列通项公式即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n-1，利用列项相消法可求得T_n，Tn＜

m

100

恒成立等价于T_n的最大值小于

m

100

，T_n的最大值易求；

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题设d＞0，
由a₂+a₇=16，得2a₁+7d=16①，
由a₃•a₆=55，得（a₁+2d）（a₁+5d）=55②，
由①得2a₁=16-7d，将其代入②得（16-3d）（16+3d）=220．即256-9d²=220，

∴d2=4，又d＞0

，∴d=2，代入①得a1=1，
故a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n-1，
bn=

4

a 2 n+1 -1

=

4

(2n+1)2-1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1，
Tn＜

m

100

恒成立?

m

100

≥1?m≥100．
∴m的最小值为100．

点评：本题考查数列与不等式的综合及数列求和，若{a_n}为等差数列，且公差为d，d≠0，则{

1

anan+1

}的前n项和用列项相消法，其中

1

anan+1

=

1

d

（

1

an

-

1

an+1

）．