Question

如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．

（1）求证：MN∥平面CDEF；

（2）求多面体A﹣CDEF的体积．

Answer 1

考点：

直线与平面平行的判定；由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的体积．

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）通过三视图说明几何体的特征，证明MN平行平面CDEF内的直线BC，即可证明MN∥平面CDEF；

（2）说明四边形 CDEF是矩形，AH⊥平面CDEF，然后就是求多面体A﹣CDEF的体积．

解答：

解：（1）证明：由多面体AEDBFC的三视图知，三棱柱AED﹣BFC中，底面DAE是等腰

直角三角形，DA=AE=2，DA⊥平面ABEF，侧面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形．

连接EB，则M是EB的中点，

在△EBC中，MN∥EC，

且EC⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF，

∴MN∥平面CDEF．

（2）因为DA⊥平面ABEF，EF⊂平面ABEF，∴EF⊥AD，

又EF⊥AE，所以，EF⊥平面ADE，

∴四边形 CDEF是矩形，

且侧面CDEF⊥平面DAE

取DE的中点H，∵DA⊥AE，DA=AE=2，∴，

且AH⊥平面CDEF．

所以多面体A﹣CDEF的体积．

点评：

本题是中档题，考查直线与平面平行的证明方法，几何体的体积的求法，考查计算能力．