题目内容

已知f（x）=1+x-
x2
2
+
x3
3
-
x4
4
+…
x101
101
，g（x）=1-x+
x2
2
-
x3
3
+
x4
4
-…-
x101
101
，若函数f（x）有唯一零点x1，函数g（x）有唯一零点x2，则有（　　）
分析：先判断函数零点所在的区间，然后证明其单调性即可．
解答：解：①∵f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-
1
2
-
1
3
-…-
1
101
＜0，∴函数f（x）在区间（-1，0）内有零点；
又f′（x）=1-x+x2-x3+…+x100，
当x∈（-1，0）时，f′（x）=
1+x101
1+x
＞0，∴函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x1∈（-1，0）；
②∵g（1）=1-1+
1
2
-
1
3
+…+
1
100
-
1
101
＞0，g（2）=1-2+
22
2
-
23
3
+…+
2100
100
-
2101
101
＜0．
当x∈（1，2）时，f′（x）=-1+x-x2+x3-…+x99-x100=
x100-1
x+1
＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x2∈（1，2）；
综上可知：正确答案为B．
故选B．
点评：理解函数零点的判断方法和正确使用导数研究函数的单调性是解题的关键．
练习册系列答案
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21、例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1
（1）证明：|c|≤1．
（2）x∈[-1，1]时，证明|g（x）|≤2．
（3）设a＞0，当-1≤x≤1时，g（x）max=2，求f（x）．
已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
f1(x)，f1(x)≤f2(x)
f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）当a=1时，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，求实数m的范围；
（3）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值．
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1
（1）证明：|c|≤1．
（2）x∈[-1，1]时，证明|g（x）|≤2．
（3）设a＞0，当-1≤x≤1时，g（x）max=2，求f（x）．
已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＜-1或x＞1}
B．{x|x＜-1或0＜x＜1}
C．{x|-1＜x＜0或0＜x＜1}
D．{x|-1＜x＜1，且x≠0}

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