Question

（2012•自贡一模）已知函数f（x）定义域为[O，1]，且同时满足：
①对于任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3；
②f（1）=4；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（I）求f（0）的值；
（II）求函数f（x）的最大值；
（III）设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，S_n=-

1

2

（a_n-3），n∈N⁺．求证：f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）＜3n+

3

2

．

Answer 1

分析：（I）利用赋值法，令x₁=x₂=0，结合f（x）≥3对一切x∈[0，1]恒成立，我们可以求出f（0）；
（Ⅱ）先证明f（x）在[0，1]上递增，利用f（1）=4，即可求得f（x）的最大值为；
（Ⅲ）先求数列{a_n}的通项，再证明f（a_n）≤3+

1

3n-1

，利用叠加，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：令x₁=x₂=0，则有f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3　
又对任意任意x∈[0，1]，总有f（x）≥3，∴f（0）=3　　　　　　（3分）
（Ⅱ）解：任取x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，则
f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3
∵0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥3
∴f（x₂）≥f（x₁）+3-3
∴f（x₂）≥f（x₁），即f（x）在[0，1]上递增．
∴当x∈[0，1]时，f（x）≤f（1）=4，∴f（x）的最大值为4　　　（6分）
（Ⅲ）证明：当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=-

1

2

（a_n-3）+

1

2

（a_n-1-3），
∴

an

an-1

=

1

3

　（7分）
∴数列{a_n}是以1为首项，公比为

1

3

的等比数列，
∴an=

1

3n-1

　　（8分）
∵f（1）=f[3^n-1×

1

3n-1

]=f[

1

3n-1

+（3^n-1-1）×

1

3n-1

]≥f（

1

3n-1

）+f[（3^n-1-1）×

1

3n-1

]-3
即　4≥3^n-1f（

1

3n-1

）-3ⁿ+3　　　　　　　　　　　　　　　（10分）
∴f（

1

3n-1

）≤

3n+1

3n-1

=3+

1

3n-1

，
即f（a_n）≤3+

1

3n-1

，（11分）
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）≤（3+

1

30

）+…+（3+

1

3n-1

）=3n+

3

2

-

1

2×3n-1

＜3n+

3

2

．
∴原不等式成立　（14分）

点评：本题考查抽象函数，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查数列与函数的关系，考查不等式的证明，综合性强．