Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+2x-1，g（x）=-x²+x+1，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的一个公共点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直。
（1）求实数a，b的值；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

解：（1），
又，
∴，
∵两曲线在点P处的切线互相垂直，
∴，
，
∴，
∴。
（2），
对任意的恒成立
，
 ，
则f′（x）＞0得，
∴函数f（x）在上递减，在上递增，
而，
∴，
而，
当x∈[-1，1]时，，
故；
∴实数k的取值范围是（-∞，-2）。