题目内容

已知函数f（x）=log
 
(2x-1)
a
（a＞0，a≠1）在区间（0，1）内恒有f（x）＜0，则函数y=log
 
(x2-2x-3)
a
的单调递减区间是
（-∞，-1）
（-∞，-1）
．
分析：由已知可得a＞1，由复合函数的单调性可知只需求函数t=x2-2x-3的单调递减区间即可，结合函数的定义域可得答案．
解答：解：当x∈（0，1）时，2x-1∈（0，1），
而函数f（x）=log
 
(2x-1)
a
在区间（0，1）内恒有f（x）＜0，
结合对数函数的性质可知a＞1，故函数y=logat单调递增，
故只需求函数t=x2-2x-3的单调递减区间即可，
由二次函数的知识可知函数t在区间（-∞，1）单调递减，
再由函数的定义域可知x2-2x-3＞0，解得x＜-1或x＞3，
取交集可得原函数的单调递减区间为：（-∞，-1）
故答案为：（-∞，-1）
点评：本题考查复合函数的单调性的判断与证明，属基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
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（1）求函数y=f（x）的最小值；
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2(x-1)
x+1
恒成立；
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x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
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已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
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6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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