Question

已知函数f(x)=lnx-mx+

1-m

x

(m∈R)
（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当m≤

1

4

时，讨论f（x）的单调性；
（3）设g（x）=x²-2x+n．当m=

1

12

时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程只需求出切线斜率k=f′（1），从而求出所求；
（2）先求导函数，然后讨论m的范围，得到导函数的符号，得到函数的单调性；
（3）根据（2）求出对任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=

5

6

，然后根据题意可知存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤

5

6

，解之即可．

解答：解：（1）当m=2时，f（x）=lnx-2x-

1

x

（x∈（0，+∞））
因此f（1）=-3，f′（x）=

1

x

-2+

1

x2

，切线斜率k=f′（1）=0
所以切线方程为y=-3
（2）f′（x）=

1

x

-m+

m-1

x2

=

-mx2+x+m-1

x2

令h（x）=-mx²+x+m-1（x∈（0，+∞））
当m=0时，h（x）=x-1，令h（x）＞0，x＞1，h（x）＜0，0＜x＜1
∴f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数
当m≠0时，h（x）=-m（x-1）[x-（

1

m

-1）]，
当m＜0时，

1

m

-1＜0＜1，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数
0＜m≤

1

4

时，0＜1＜

1

m

-1，f（x）在（0，1），（

1

m

-1，+∞）上是减函数，f（x）在（1，

1

m

-1）上是增函数
（3）当m=

1

12

时，f（x）在（0，1）上是减函数，f（x）在（1，2）上是增函数
∴对任意x₁∈（0，2），f（x₁）≥f（1）=

5

6

又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
所以g（x₂）≤

5

6

，x₂∈[1，2]，
即存在x₂∈[1，2]使g（x）=x²-2x+n≤

5

6

 即n-1≤

5

6

解得n≤

11

6

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的数学思想和转化的思想，属于中档题．