题目内容
已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜
．
（l）若cos
sin（φ+
）-sin
sinφ=0，求φ的值；
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的两条相邻对称轴之间的距离等于
，求函数f（x）的解析式；并求最小的正实数m，使得函数f（x）的图象向右平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
| π |
| 2 |
（l）若cos
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的两条相邻对称轴之间的距离等于
| π |
| 3 |
分析：（1）利用特殊角的三角函数值化简cos
sin（φ+
）-sin
sinφ=0，根据|φ|＜
直接求出φ的值；
（2）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
，求出周期，求出ω，得到函数f（x）的解析式；函数f（x）的图象向右平移m个单位所对应的函数是偶函数．推出m=-
-
（k∈Z），可求最小正实数m．
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（2）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
| π |
| 3 |
| kπ |
| 3 |
| π |
| 12 |
解答：解：（1）由cos
sin（φ+
）-sin
sinφ=0，得cos
cosφ-sin
sinφ=0
即cos（
+φ）=0又|φ|＜
，∴φ=
．
（2）由（1）得，f（x）=sin（ωx+
），依题意，
=
又T=
，故ω=3，
∴f（x）=sin（3x+
）
函数f（x）的图象向右平移m个单位后所对应的函数为g（x）=sin[3（x-m）+
]，
g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立
亦即sin（-3x-3m+
）=sin（3x-3m+
）对x∈R恒成立．
∴当且仅当-3m+
=kπ+
（k∈Z）
∴m=-
-
（k∈Z）从而，最小正实数m=
．
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即cos（
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）由（1）得，f（x）=sin（ωx+
| π |
| 4 |
| T |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| ω |
∴f（x）=sin（3x+
| π |
| 4 |
函数f（x）的图象向右平移m个单位后所对应的函数为g（x）=sin[3（x-m）+
| π |
| 4 |
g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立
亦即sin（-3x-3m+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴当且仅当-3m+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
∴m=-
| kπ |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
点评：本题是中档题，考查三角函数的字母变量的求法，三角函数的图象的平移，偶函数的性质，转化思想的应用．
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