题目内容
已知α、β∈（0，
），且α+β＞
，f(x)=(
)x+(
)x．
求证：对于x＞0，有f（x）＜2．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
求证：对于x＞0，有f（x）＜2．
证明：∵α+β＞
，∴α＞
-β；∵α、β∈（0，
），
-β∈(0，
)；
因为y=sinx，在(0，
)上为增函数，
y=cosx在(0，
)上为减函数，
sinα＞sin（
-β）=cosβ，cosα＜cos(
-β)=sinβ，
又sinα＞0，sinβ＞0，∴0＜
＜ 1，0＜
＜1，
∵y=ax，（0＜a＜1）在R上为减函数，且x＞0，∴(
)x＜ 1，(
)x＜1，
从而f(x)=(
)x+(
)x＜2
| π |
| 2 |
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因为y=sinx，在(0，
| π |
| 2 |
y=cosx在(0，
| π |
| 2 |
sinα＞sin（
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| 2 |
| π |
| 2 |
又sinα＞0，sinβ＞0，∴0＜
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
∵y=ax，（0＜a＜1）在R上为减函数，且x＞0，∴(
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
从而f(x)=(
| cosα |
| sinβ |
| cosβ |
| sinα |
练习册系列答案
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