Question

已知函数．

       （1）若，求曲线在处切线的斜率；

       （2）求的单调区间；

       （3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，                   ………………2分

．

故曲线在处切线的斜率为．           ………………4分

（Ⅱ）．                    ………………5分

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为．                 ………………6分

②当时，由，得．

在区间上，，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

……………….8分

（Ⅲ）由已知，转化为．            ………………9分

                                     ………………10分

由（Ⅱ）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．

（或者举出反例：存在，故不符合题意．）………………11分

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，，………13分

所以，解得．                       ………14分