Question

已知a＞0且a≠1，P=log_a(1+a³)，Q=log_a(1+a²)，试比较P、Q的大小.

Answer 1

思路分析：设y=f(x)=log_ax，所以P=f(a³+1)，Q=f(a²+1).于是我们可以先比较真数a³+1、a²+1的大小，并利用函数y=f(x)=log_ax的单调性比较P、Q的大小.

解：a³+1-(a²+1)=a²(a-1).

（1）a＞1时,a²(a-1)＞0,a³+1＞a²+1＞0,f(x)单调递增，∴P＞Q.

（2）a=1时,a³+1=a²+1,∴P=Q.

（3）0＜a＜1时,a²(a-1)＜0,0＜a³+1＜a²+1,f(x)单调递减，∴P＞Q.

综上P≥Q（当且仅当a=1时取等号）.

巧解提示

    这里比较P、Q的大小我们分成两个层次进行，先比真数，后比对数.本题若直接求差P-Q=log_a，这样去解较繁，也就是说，解题时不要那么呆板，对于复杂的问题，我们有时可以把它分解成几个简单的问题来解决.