Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n﹣2n+1（n∈N*）．
（1）设b_n=，求证：数列{b_n}是等差数列：
（2）设数列{C_n}满足C_n=（n∈N*），T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…c_nc_n+1，若对一切n∈N*不等式2mT_n＞C_n恒成立，实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）当n=1时：S₁=a₁=2a₁﹣2¹⁺¹，
解得a=4当n≥2时，由Sn=2a_n﹣2n+1 …①
且S_n﹣1=2an﹣1﹣2n …②
①﹣②得：a_n=2a_n﹣2a_n﹣1﹣2n，
有：a_n=2a_n﹣1+2n得，
∴b_n﹣b_n﹣1=1，，
故数列{b_n}是以2为首项，以1为公差的等差数列．
（2）由（1）得：b_n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，即a_n=（n+1）2ⁿ，

∴，

∴，
∴，由2mTn＞cn，
得：，得，
又令，

∴=，
故f（n）在n∈N*时单调递减，
∴得m＞．