Question

如图所示，在长方体OABC—O₁A₁B₁C₁中，|OA|=2,|AB|=3,|AA_1|=2,E是BC的中点.

（1）求直线AO₁与B₁E所成角的大小；

（2）作O₁D⊥AC于D，求点O₁到点D的距离.

Answer 1

解析：（1）以O为原点，分别以、、为Ox轴，Oz轴的正向，如图建立空间直角坐标系.

 

∵|OA|=2,|AB|=3,|AA₁|=2,E是BC的中点，

∴A（2,0,0）,O₁(0,0,2),B₁(2,3,2),E(1,3,0),

∴=(-2,0,2), =(-1,0,-2),设与的夹角为θ，则cosθ

==-.

∴θ=π-arccos，则直线AO₁与B₁E所成角为arccos.   

（2）连结OD.

∵O₁D⊥AC，∴OD⊥AC，设D坐标为(x,y,0)，

由

_得

或（舍去）.

∴点D的坐标为（,,0）.

∴=（，，-2）.

∴||==.

∴点O₁到点D的距离为.