Question

已知α为第二象限的角，cos

α

2

+sin

α

2

=-

7

2

，求下列各式的值：
（1）sinα；
（2）sin(α+

π

6

)；
（3）cos

α

2

-sin

α

2

．

Answer 1

分析：（1）将已经式平方展开，再结合同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式，即可得到sinα的值；
（2）用同角三角函数基本关系求出cosα的值，再用两角和的正弦公式，即可求出sin(α+

π

6

)的值；
（3）根据同角三角函数关系的平方关系，可以算出（cos

α

2

-sin

α

2

）²的值，再由α为第二象限的角，即可得到cos

α

2

-sin

α

2

为正数，得到所求的值．

解答：解：（1）将已知式平方，得
cos²

α

2

+2sin

α

2

cos

α

2

+sin²

α

2

=

7

4

，即1+sinα=

7

4

，因此sinα=

3

4

．…（4分）
（2）∵α为第二象限角，得
cosα=-

1-sin2α

=-

7

4

，
所以sin(α+

π

6

)=sinαcos

π

6

+cosαsin

π

6

=

3

4

×

3

2

-

7

4

×

1

2

=

3 3 - 7

8

．…（8分）
（3）∵（cos

α

2

-sin

α

2

）²+（cos

α

2

+sin

α

2

）²=2，cos

α

2

+sin

α

2

=-

7

2

∴（cos

α

2

-sin

α

2

）²=2-

7

4

=

1

4

又∵α为第二象限角，cosα=cos2

α

2

-sin2

α

2

=（cos

α

2

-sin

α

2

）（cos

α

2

+sin

α

2

）＜0
∴cos

α

2

-sin

α

2

=

1

2

．（舍负）…（12分）

点评：本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式等三角函数化简求值的知识，属于基础题．