Question

数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-1，数列{b_n}中，b_n=（3n-2）•a_n．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：由题意知：
（1）∵S_n=2a_n-1 ①
S_n-1=2a_n-1-1 （n≥2）②
由①-②得a_n=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1
即
又∵a₁=S₁=2a₁-1
∴a₁=1
所以{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列 即a_n=2^n-1
（2）由（1）知a_n=2^n-1
∵b_n=（3n-2）•2^n-1 下面用错位相减求和法求T_n
∴T_n=1+4•2+7•2²+…+（3n-2）•2^n-1 ③
2T_n=1•2+4•2²+…+（3n-2）•2ⁿ ④
由③-④得：
-T_n=1+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n-2）•2ⁿ
=-5-（3n-5）•2ⁿ
∴T_n=（3n-5）•2ⁿ+5
分析：（1）先把递推公式S_n=2a_n-1，往前递推一项s_n-1=2a_n-1-1，两式作差消去s_n，s_n-1求出数列{a_n}的通项公式．
（2）利用错位相减求和法即可求出T_n．
点评：本题主要考查由前n 项和的递推公式求数列通项公式，及用错位相减求和法求T_n，属中档题．