Question

若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

，则当1＜x₁＜x₂时，有（　　）

A．g（1）＜f（x₁）＜f（x₂）

B．g（1）＜f（x₂）＜f（x₁）

C．f（x₁）＜g（1）＜f（x₂）

D．f（x₁）＜f（x₂）＜g（1）

Answer 1

分析：由令x=-x代入f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

，再由函数的奇偶性化简，联立方程求出f（x），g（x），再求出
g（1），利用基本不等式求出f（x）的范围，再由f（x）的单调性比较三者的大小关系．

解答：解：∵f(x)-g(x)=(x+

1

2

)2+

1

x

   ①，
令x=-x代入①得：f(-x)-g(-x)=(-x+

1

2

)2-

1

x

，
∵f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，
∴-f(x)-g(x)=(-x+

1

2

)2-

1

x

   ②，
由①②得，f(x)=x+

1

x

-

1

4

，g(x)=-x2-

1

2

，
则g(1)=-1-

1

2

=-

3

2

，
∵当x＞0时，f(x)=x+

1

x

-

1

4

≥2-

1

4

=

7

4

当且仅当x=1时取等号，且在（1，+∞）上递增，
∴1＜x₁＜x₂时，有f（x₂）＞f（x₁）＞f（1）=

7

4

，
则g（1）＜f（x₁）＜f（x₂），
故选A．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性综合应用，以及方程思想求函数的解析式，属于中档题．