Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1．
（Ⅰ）证明数列{a_n+$\frac{1}{n}$}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1，作差可得$（{a}_{n+1}+\frac{1}{n+1}）$-（a_n+$\frac{1}{n}$）=1．利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=1-$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （I）证明：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1，
∴$（{a}_{n+1}+\frac{1}{n+1}）$-（a_n+$\frac{1}{n}$）=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$+1+$\frac{1}{n+1}$-${a}_{n}-\frac{1}{n}$=1．
∴数列{a_n+$\frac{1}{n}$}是等差数列，首项为2，公差为1，
∴${a}_{n}+\frac{1}{n}$=2+（n-1）=n+1，∴${a}_{n}=n+1-\frac{1}{n}$．
（II）解：b_n=$\frac{{a}_{n}}{n+1}$=1-$\frac{1}{n（n+1）}$=1-$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和=n-$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=n-$（1-\frac{1}{n+1}）$
=n-1+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．