Question

某潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合（设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸），潜水员在潜入水下a米的过程中，速度为v米/分，每分钟需氧量与速度平方成正比（当速度为1米/分时，每分钟需氧量为0.2L）；在湖底工作时，每分钟需氧量为0.4L；返回水面时，速度也为v米/分，每分钟需氧量为0.2L，若下潜与上浮时速度不能超过p米/分，试问潜水员在湖底最多能工作多少时间？（氧气瓶体积计算精确到1L，a、p为常数，圆台的体积V=

1

3

πh(r2+rR+R2)，其中h为高，r、R分别为上、下底面半径．）

Answer 1

分析：氧气瓶中氧气的体积V=V_圆柱+V_圆台=π×10²×50+π×10×

1

3

(4+20+100)≈5413π≈16997(cm3)≈17 L．设潜入水下a米过程中的每分钟需氧量为Q，则Q=kv²，因当速度为1 m/分时，每分钟需氧量0.2 L，所以k=0.2，故来回途中需氧量为a×0.2v+a×

0.2

v

，v∈(0，p]，则在湖底的工作时间为

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]．由此能够求出潜水员在湖底最多能工作多少时间．

解答：解：氧气瓶中氧气的体积
V=V_圆柱+V_圆台=π×10²×50+π×10×

1

3

(4+20+100)≈5413π≈16997(cm3)≈17 L．
设潜入水下a米过程中的每分钟需氧量为Q，则Q=kv²，
因当速度为1 m/分时，每分钟需氧量0.2 L，所以k=0.2，
故来回途中需氧量为a×0.2v+a×

0.2

v

，v∈(0，p]，
则在湖底的工作时间为

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]，
∵0.2av+

0.2

v

≥0.4a，…..（6分）
当且仅当，v=1时取等号．
所以①当p≥1时，

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]的最大值是42.5-a．
②当p＜1时，v∈（0，p]，
∵v≤p＜1，vp≤p²＜1，

1

0.4

[17-(0.2av+

0.2a

v

)]-

1

0.4

[17-(0.2ap+

0.2a

p

)]=

a

2

(p-v)(

vp-1

vp

)≤0，
即当v=p时，在湖底的工作时间的最大值为

1

0.4

[17-(0.2ap+

0.2a

p

)]，
因此，当p≥1时，潜水员在湖底最多能工作42.5-a分钟；
当p＜l时，潜水员在湖底最多能工作

1

0.4

[17-(0.2ap+

0.2a

p

)]分钟．…（14分）

点评：本题考查函数模型的选择和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，恰当地建立方程．易错点是弄不清数量间的相互关系，导致建立方程出错．